VDOİHİ Bağımlı ve Bir Bağımsız Olasılıklı Farklı Dizilimsiz Simetrik Bulunmama Olasılığı Soru Problem ve İspat Çözümleri – Cilt 2.3.2

Açıklama

Seçilmiş İlk, Yenilik ve ZaruriliklerYazar doktora tez çalışmasına kadar dijital makinalarla sayısallaştırılabilen fakat insan tarafından sayısallaştırılamayan verileri, anlamlı en küçük parça (akp)’larına ayırıp skorlandırarak, sayısallaştırma problemini çözmüştür. Anlamlı en küçük parçaların Türkçe kısaltmasını matematiğin tarihinde bir ilk olarak, olasılığın birimlendirilebilir olmasından dolayı, olasılığın birimini akp olarak belirlemiştir. Matematiğinin başlangıcı olasılık olan tüm bağımlı değişkenlerde olabileceği gibi aynı zamanda enformasyonunda temeli olasılık olduğundan, enformasyon içeriğinin de doğal birimi akp’dir.Verilerin objektif lojik semplisitede sayısallaştırılmasıyla Veri Değişkenleri Olasılık ve İhtimal Hesaplama İstatistiği (VDOİHİ) geliştirilmeye başlanmıştır. Doktora tezinin nitel verilerini, bir ilk olarak, -1, 0, 1 skorlarıyla sayısallaştırarak iki tabanlı olasılığı sınıflandırıp; pozitif, negatif (ve negatiflerdeki pozitif skorlar için ayrıca eşitlik tanımlaması yapılıp), ilişkisiz ve sıfır skor aşamalarında değerlendirme yöntemi geliştirmiştir. Bu yöntemin tüm kavramlarının; tanım ve formülleriyle sınırları belirlenip, kendi içinde tam bir matematiği geliştirilip, uygulamalarla veri elde edilmiş, verilerin hem değerlendirmeleri hem de bulguların sözel ifadelerini veren yazılım paket programı yapılarak, bir disiplinin tüm yönleri yazar tarafından gerçekleştirilerek doktorasını bilim tarihinde yine bir ilk ile tamamlamıştır. Nitel verilerden elde edilebilecek bulguların sözel ifadelerini veren yazılım paket programı gerçek ve olması gereken yapay zekanın ilk örneğidir.Yazar doktora tez çalışmasında bireyler için bilimsel bilginin; prosedürel bilgi (kurallı bilgi), dekleratif bilgi (anlam bilgisi) ve matematik mantık yapılarını, uygun ölçme aracı ve diğer çalışmalarında bilimsel bilginin; enformasyon ve semiotik yapılarını, ölçme araçları için madde tekniği olarak tanımlayıp, değerlendirme yöntemleri belirginleştirilerek, eğitimde ölçme ve değerlendirme için beş yeni boyut aktiflenmiştir. Ölçme ve değerlendirmeye aktif ve pasif değerlendirme tanımlaması yapılarak, matematiği geliştirilmiş ve geliştirilmeye devam edilmektedir. Yazar yaptığı çalışmalarda Problem Çözüm Tekniklerini (PÇT) aktifleyerek; verilenler-istenilenler (Vİ), serbest cisim diyagramı/çizim (SCD), tanım, formül ve işlem aşamalarıyla, eğitimde ölçme ve değerlendirmede beş boyut daha aktiflemiştir. PÇT yönteminin aşamalarını bilgi düzeyi, çözümlerin sonucunu da başarı düzeyi olarak tanımlayıp, ölçme ve değerlendirme için iki yeni boyut daha kazandırmıştır. Sınıflandırılmış iki tabanlı olasılık yönteminin aşamaları ve negatiflerdeki pozitiflerle, ölçme ve değerlendirmeye beş yeni boyut daha kazandırılmıştır. Verilerin Shannon eşitliği ve VDOİHİ’de verilen olasılık-ihtimal eşitlikleriyle değerlendirmesini bilgi merkezli, matematiksel fonksiyonlarla (lineer, kuvvet, trigonometri “sin, cos, tan, cot, sinh, cosh, tanh, coth”, ln, log, eksponansiyel v.d.) değerlendirmeyi ise birey merkezli değerlendirme sınırlandırması getirerek, değerlendirmeye iki yeni boyut daha kazandırmıştır. Ayrıca değerlendirme için a/b+c/d ve (a+c)/(b+d) matematiksel işlemlerin değerlendirme için anlam ve sonuç farklılıklarını, değerlendirme için aktifleyerek, değerlendirmeye iki yeni boyut daha kazandırmıştır. Böylece eğitimde bireyler için yapılabilecek ölçme ve değerlendirmeye; PÇT aşamaları 5×5, yine PÇT’nin bilgi ve başarı düzeylerinin 2×2, sınıflandırılmış iki tabanlı olasılık yöntemi 5×5, bilgi ve birey merkezli ölçme ve değerlendirmeyle 2×2, matematiksel işlem farklılıklarıyla 2×2 olmak üzere eğitimde ölçme ve değerlendirmeye bu boyutların değerlendirmede çarpımı gerektiğinden 40.000 yeni boyut kazandırmıştır. Bu boyutlara yukarıda verilen matematiksel fonksiyonlarında dahil edilmesiyle en az (13×13) 6.760.000 yeni boyutun primitif düzeyde ölçme ve değerlendirmeye katılabilmesinin yolu yazar tarafından açılmış olmasına karşılık, günümüze kadar yukarıda bahsedilen boyutların ilgi düzeyinde, eğitimde ölçme ve değerlendirme, tek boyuttan öte (lineer değerlendirme) geçirilememiştir. Bu noktadan sonra, ölçme ve değerlendirmeye fark istatistiğiyle boyut kazandırılabilmiştir, bu boyutlarında hem ihtimallerden çıkarılacak yeni boyutlar hem de ihtimallerin fark istatistiğinden türetilebilecek boyutların yanında güdük kalacağı kesin! Ölçme ve değerlendirmeye yeni boyutlar kazandırılmasının en önemli amaçları; beynin öğrenme yapısının kesin bir şekilde belirlenebilmesi ve öğretim süreçlerinin bilimsel bir şekilde yapılandırılabilmesidir. Beyinle ilgili VDOİHİ Bağımlı Olasılık Cilt 1’in giriş bölümünde verilenlerin genişletilmesine ileride devam edilecektir. Fakat öğretim süreçlerinin teorik öngörülerle ve/veya insanın yaradılışına uyma olasılığı son derece düşük doğrusal matematiksel işlemlerle ilişkili değerlendirmelerle yapılandırılması yazar tarafından insanlığa ihanet olarak görüldüğünden, doğru verilerle eğitimin bilimsel niteliklerde yapılandırılabilmesi için eğitimde ölçme ve değerlendirmeye yeni boyutlar kazandırılmaktadır.Günümüze kadar yaşayan dillere 10 kavram bile kazandırabilen hemen hemen yokken, yayınlanan VDOİHİ ciltlerinde (cilt 1, 2.1.1, 2.2.1, 2.3.1 ve 2.3.2) yaklaşık 1000 kavram Türkçeye kazandırılarak ciltlerin dizinlerinde verilmiştir. Bu kavramların tüm sınırları belirlenip, açık ve anlaşılır tanımlarıyla birlikte eşitlikleri de verilmiştir. Bu düzeyde yani bilimsel düzeyde, bilime kavramlar Türkçe olarak kazandırılmıştır. Yayınlanacak VDOİHİ’lerde bilime Türkçe kazandırılacak kavramların on binler düzeyinde olacağı öngörülmektedir.VDOİHİ’de verilen eşitlikler aynı zamanda dillerinde eşitlikleridir. Türkçe ve İngilizcenin olasılık yapıları VDOİHİ’de belirlenerek, formüllerin dillere (ağırlıklı Türkçe) uygulamalarıyla hem dillerin objektif yapıları belirginleştiriliyor hem de makina-insan arası iletişimde, makinaların insan gibi iletişim kurabilmesinin sağlanacağı en üst dil olarak Türkçe geliştirilmektedir. İleriki ciltlerde Türkçenin matematik mantık yapısı da verilerek, objektif lojik semplisitede Türkçe makinaların iletişim dili yapılması öngörülmektedir.Bilim(de) kesin olanla ilgileni(li)r, yani bilim eşitlik ve/veya yasa üretir veya eşitliklerle konuşur. Bunun mümkün olmadığı durumlarda geçici çözümler üretilebilir. Bu geçici çözümler veya yöntemleri, her hangi bir nedenle bilimsel olamaz. Bilimin yasa veya eşitlik üretimindeki kırılma, Cebirle başlamıştır. Bilimdeki bu kırılma mühendisliğin, teknolojiye dönüşümünün başlangıcıdır. Bilimdeki kırılma ve mühendisliğin teknolojiye dönüşümü, insanlığın gelişimini hızlandırmakla birlikte, bilimsel ve teknolojik gelişim, bu alanda çalışanların; ego, öngörüsüzlük, ufuksuzluk ve beceriksizlikleri gibi nedenlerden dolayı, insanlığın gelişimi ivmelendirilemediği gibi bu basiretsizliklerle insanlığa pranga vurmayı kısmen başarabilmişlerdir. VDOİHİ’de ve telif eserlerinde verilen değişken belirleme, eşitlik-yasa belirleme ve bunların sözel yorumlarını yapabilen yazılımlarla, ve yapılabilecek benzeri yazılımlarla insanlığın gelişimi ivmelendirilebileceği gibi isteyen her bireyin, gerçeklerin (VDOİHİ Bağımlı Olasılık Cilt 1’in giriş bölümünde tanımlanmıştır) bilgilerine ve teknolojisine daha kolay ulaşabilme imkanı sağlanmıştır.Herhangi bir disiplinin herhangi bir alanında; zaruri tüm tanımları, zaruri tüm eşitlikleri ve bunların epistemolojileriyle (0. epistemolojik seviye) en azından 1. epistemolojik seviye bilgilerinin ya ilk yada ilk örneklerinden biri VDOİHİ’dir. Bu kapsamda VDOİHİ’de şimdiye kadar yaklaşık 1000 kavram’ın bilime kazandırıldığı yukarıda belirtilmişti. Bu kapsamda yine VDOİHİ’de 5000’in üzerinde orijinal; ilk ve yeni eşitlik geliştirilmiştir. Bu eşitlikler kasıtlı olarak ilk defa dört farklı yapıda birlikte verilmektedir. Bu eşitlikler; a) sabit değişkenli (örneğin; bağımlı olasılıklı farklı dizilimli simetrik olasılık eşitlikleri) b) sabit değişkenli işlem uzunluklu (örneğin; simetrinin son durumunun bulunabileceği olaylara göre bağımlı olasılıklı farklı dizilimli simetrik olasılık eşitliği) c) hem değişken uzunluklu hem işlem uzunluklu (örneğin; simetrinin her durumunun bulunabileceği olaylara göre bağımlı olasılıklı farklı dizilimli simetrik olasılık eşitliği) d) sabit değişkenli zıt işlem uzunluklu (bu eşitlik VDOİHİ cilt 2.1.2’den itibaren verilecektir. Örneğin; ∑_(i=s)^n▒∓ ) yapılarda verilmektedir. Sabit değişken yapılı eşitliklerle, bilim ve teknolojideki gereksinimlerin çoğunluğu karşılanabilirken, geleceğin bilim ve teknolojisinde ihtiyaç duyulabilecek eşitlik yapıları kasıtlı olarak aktiflenmiş veya geliştirilmiştir.İnsanların hem öğrenmelerinin desteklenmesi hem de bilginin teknolojiyle her kişi tarafından ilişkisinin kurulabilmesi için özellikle VDOİHİ Soru Problem İspat Çözümleri ciltlerinde soru ve problem birbirinden ayrılarak yeniden tanımlanıp sınırları belirlenmiştir. Böylece örnek, soru, problem ve ispat arasındaki farklılıklar belirginleştirilmiştir. Ayrıca yine insanların hem öğrenmelerinin desteklenmesi hem de bilginin teknolojiyle ilişkisinin her kişi tarafından daha kesin kurulabilmesi için Sertaç ÖZENLİ’nin İlmi Sohbetler eserinin M5-M6 sayfalarında verilen epistemolojik seviye tanımları; örnek, soru, problem ve ispatlara uyarlanmıştır. Böylece; örnek, soru, problem ve ispatların epistemolojileriyle, hem bilgiyle-öğrenme arasında hem de bilgi-teknoloji arasında yeni bir köprü kurulmuştur.Geride bıraktığımız yüzyılda, özellikle Turing ve Shannon’un katkılarıyla iki tabanlı olasılığa dayalı dijital teknoloji kurulabilmiştir. Kombinasyon eşitliğiyle iki tabanlı simetrik olasılıklar hesaplanabildiğinden, ihtimalleri de kesin olarak hesaplanabilmesine karşılık ikiden büyük durumlar için; bağımsız olasılık, bağımlı olasılık, bağımlı-bağımsız olasılık, bağımlı-bağımlı olasılık veya bağımsız-bağımsız olasılık dağılımlarındaki simetrik olasılıklar VDOİHİ’ye kadar kesin olarak hesaplanamadığından (hatta VDOİHİ’ye kadar olasılığın sınıflandırılması bile yapılmamış/yapılamamıştır), farklı tabanlarda çalışabilecek elektronik teknolojisi kurulamamıştır. VDOİHİ’de verilen eşitliklerle, hem farklı olasılık dağılımlarında hem de her tabanda simetrik olasılıkların olabilecek her türü hesaplanabilir kılındığından, ihtimalleri de kesin olarak hesaplanabilir. Böylece VDOİHİ’de verilen eşitliklerle hem istenilen tabanda hem de istenilen dağılım türlerinde çalışabilecek elektronik teknolojisinin temel matematiği kurulmuştur. Bundan sonraki aşama bilginin-ürüne dönüşme aşamasıdır. Ayrıca VDOİHİ’de özellikle uyum eşitlikleri kullanılarak farklı dağılım türlerine geçişin yapılabileceği eşitliklerde verilerek, dijital teknoloji yerine kurulacak her tabanda ve/veya her dağılım türünde çalışan teknolojinin istenildiğinde de hem farklı taban hem de farklı dağılım türlerine geçişinin yapılabileceği matematik eşitlikleri de verilmiştir. Böylece tek bir tabana dayalı dijital teknoloji yerine sonsuz çalışma prensibine dayalı elektronik teknolojinin bilimsel-matematiksel yapısı VDOİHİ ile kurulmuş ve kurulmaya devam etmektedir.VDOİHİ’de verilen eşitlikler aynı zamanda en küçük biyolojik birimden itibaren anlamlı temel biyolojik birimin “genetiğin” temel matematiğidir. En küçük biyolojik birim olarak DNA alındığında, VDOİHİ’de verilen eşitlikler DNA, RNA, Protein ve Gen ve teknolojilerinin temel eşitlikleridir. Bu eşitlikler VDOİHİ’de teorik düzeyde; DNA, RNA, Protein, Gen ve hastalıklarla ilişkilendirilerek, gelecekte atom düzeyinden başlanarak en kompleks biyolojik birimlere kadar tüm biyolojik birimlerin laboratuvar ortamlarında üretiminin planlı ve kontrollü yapılabilmesinde ihtiyaç duyulacak, temel matematik, olarak ilişkilendirilmiştir. Böylece bir canlının, örneğin insanın, atom düzeyinden başlanarak laboratuvar ortamında üretilebilir/yapılabilir kılınmasının, bilimsel ve matematiksel yapısı ilk defa VDOİHİ’de verilmektedir. Elbette bir insanın laboratuvar ortamında üretilebilir olmasıyla, bunun gerçekleştirilmesi aynı değildir. Gerçekleştirilebilmesi için dini, etik, ahlaki v.d. aşamalarında da doğru kararların verilmesi gerekir. Fakat organların v.b. biyolojik birimlerin laboratuvar ortamında üretilmesinin önünde benzeri aşamaların engel oluşturduğu söylenemez. İhtiyaç halinde bir insanın; organının, sisteminin veya uzvunun v.b. her yönüyle aynısının laboratuvar ortamında üretilmesi veya soyu tükenmiş bir canlının yeniden üretimi veya soyunun son örneği bir canlı türünün devamı VDOİHİ’de verilen eşitlikler kullanılarak sağlanabilir. Biyolojik bir yapının laboratuvar ortamında üretimiyle, örneğin herhangi bir makinanın üretilmesinin İslam açısından aynı değerli olduğunu düşünüyorum. Bu yaradanın bize ulaşabilmemiz için verdiği bilgidir. Eğer ulaşılması istenmeseydi, bizim öyle bir imkanımızda olamazdı. Fakat bilginin, bizim ulaşabileceğimiz bilgi olması, yani gerçeğin bilgisi olması, her zaman ve her durumda uygulanabilir olacağı anlamına gelmez. Umarım yapmak ile yaratmak birbirine karıştırılmaz!VDOİHİ’de hem sonsuz çalışma prensibine dayalı elektronik teknolojisinin bilimsel-matematiksel yapısı hem de Telif eserlerinde ve VDOİHİ’de ilk defa yapay zeka çağının kapılarını aralayan çalışmalar yapılmıştır. VDOİHİ cilt 2.1.1’in giriş bölümünde yapay zeka ve çağının tanımı yapılarak, kütüphane ve referans bilgileriyle ilişkilendirilmiştir. Daha sonra VDOİHİ ve Telif eserlerinde insanlığın gelişimini ivmelendirecek; yapay zeka görev kodları, verilerin analizleriyle ait olduğu disiplinlin belirlenmesi, verinin analizinden verilen ve istenilenlerin belirlenmesi, değişken analizi, eksik değişkenlerin belirlenmesi, eksik değişkenlerin verilerinin üretimi, değişkenler arası eşitliklerin kurulması ve elde edilen bilgilerin sözel ifadeleriyle bilim ve teknoloji için gerekli bilgiyi üretebilen yazılımlar verilmiştir. Hem bu yazılımlarla hem de benzeri yazılımlarla, bilim insanları tarafından üretilemeyen bilgi ve teknolojilerin isteyen her kişi tarafından üretilebilir olması sağlanmıştır. Gerçek yapay zeka aynı zamanda pahalı deneylere ihtiyacı ortadan kaldırarak, insanlara yaradanın tanıdığı eşitliklerin (matematiksel eşitlik değil!), belirli insanlar tarafından saptırılarak, diğerlerinin eşitlik ve özgürlerinin gasp edilmesinin önünde güçlü bir engel teşkil edebilecek; bilgi ve teknolojik, üretim-gelişim olabilir. Bugüne kadar artifical inteligence çalışmalarıyla sadece ve sadece kütüphane bilgisinin bir kısmı üretilebildiği ve kütüphane bilgisi üretebilen teknoloji geliştirildiğinden, bunlar yapay zekanın öncü çalışmalarından öte geçip yapay zeka konumunda düşünülemez. Gerçek yapay zeka hem kütüphane hem de referans bilgisi üretebilir olması gerektiğinden; a) yazar tarafından doktora tez çalışması başta olmak üzere belirli çalışmalarında kütüphane bilgisinin ileri örnekleri başarıldığından, b) ilk defa VDOİHİ ve Telif eserlerinde referans bilgisini üreten yazılımlar başarıldığından ve c) yapay zekanın gereksinim duyabileceği dijital teknoloji yerine, sonsuz çalışma prensibine dayalı elektronik teknolojisinin bilimsel-matematiksel yapısı yazar tarafından geliştirildiğinden, insanlığın bugüne kadar uyguladığı teamüller gereği adlandırmanın da Türkçe yapılması elzem ve adil bir zorunluluktur. Bu nedenle insan biyolojisinin ürünü olmayan zeka “yapay zeka” ve insan biyolojisinin ürünü olamayan zekayla insanlığın gelişiminin ivmelendirildiği zaman periyodu da “yapay zeka çağı” olarak adlandırılmalıdır.Yazar tarafından VDOİHİ’de, Cebirden günümüze bilimsel yasa ve eşitliklerin yapısı; a) bilimsel gelişim, olması gereken veya olabilecek gelişime göre düşük olduğundan, b) teorik çalışmaların omurgasının matematiğe terk edilmesi ve matematikçilerinde üzerlerine düşeni yeterince yerine getirememelerinden dolayı, c) yapay zeka karşısında buhrana düşülmesinin önüne geçilebilmesi ve d) kainatın en kompleks birimi olan insan beynine yakışır bilimsel gelişimin başarılabilmesi için, yasa/eşitliklerin, uyum ve genel yapıları olasılık üzerinden belirlenmiştir.Yazar tarafından VDOİHİ Bağımlı ve Bir Bağımsız Olasılıklı Büyük Farklı Dizilimli Simetrik Olasılık Cilt 2.2.1’de insanlığın bilimsel ve teknolojik gelişimini ivmelendirebilecek uyum çağının tanımı yapılarak, VDOİHİ’de ilk defa yasa/eşitliklerin, olasılık eşitlikleri üzerinden uyum yapıları verilmiştir. Ayrıca yasa/eşitliklerin uyum yapılarıyla insanlığın bilimsel ve teknolojik gelişimini ivmelendirebilecek teknoloji örneği olarak, istenilen tabanda veya istenilen olasılık dağılım türünde çalışabilecek elektronik teknolojisi verilmiştir.Yazar tarafından VDOİHİ Bağımlı ve Bir Bağımsız Olasılıklı Farklı Dizilimsiz Simetrik Olasılık Cilt 2.3.1’de insanlığın bilimsel ve teknolojik gelişimini ivmelendirebilecek genel çağın tanımı yapılarak, VDOİHİ’de yasa/eşitliklerin, olasılık eşitlikleri üzerinden genel yapıları verilmiştir. Ayrıca yasa/eşitliklerin genel yapılarıyla insanlığın bilimsel ve teknolojik gelişimini ivmelendirebilecek teknoloji örneği olarak da, istenildiğinde hem taban hem de olasılık dağılım türü değiştirerek çalışabilecek elektronik teknolojisi verilmiştir.Yazar tarafından VDOİHİ Bağımlı ve Bir Bağımsız Olasılıklı Farklı Dizilimsiz Simetrik Bulunmama Olasılığı Cilt 2.3.2 insanlığın bilimsel ve teknolojik gelişimini ivmelendirebilecek dördüncü bir çağ olarak, Sertaç ÖZENLİ’nin İlmi Sohbetler eserinin R39-R40 sayfalarından yararlanılarak, kapak sayfasındaki ve T21-T22’inci sayfalarında verilen şuurluluğun ork or modelinin özetinin gösterildiği grafiğin uyarlanmasıyla gerçek-gerçek ve gerçeğin tanım ve grafiği geliştirilerek, buradan gerçek zaman ufku ötesi çağı tanımlanmıştır. Doğada rastlanmayan fakat kuantum sayılarıyla ulaşılabilen atomlara ait bilgilerimiz, gerçek zaman ufku ötesi bilgilerimizin, gerçekleştirilmiş olanlarıdır. Gerçekleştirilebilecek olanları ise kainatın herhangi bir yerinde yaşamını sürdüren herhangi bir canlıdan henüz haberdar bile olmadan var olan genetik bilgi ve matematiğimizle ulaşılabilir olan tüm bilgilerine ulaşılmasıdır.Özellikle; sonsuz çalışma prensibine dayalı elektronik teknolojisi, yapay zeka, gerçek zaman ufku ötesi bilgilerimizin temel eşitliklerinin verilebilmesi, başlangıçta kurucusu tarafından yapılabileceklerin ilerleyen zamanlarda o disiplinin cazibe merkezine dönüşerek insan kaynaklarının israfının önlenmesi nedeniyle ve en önemlisi Yaradan’ın bizlere verdiği adaletin insan tarafından saptırılamaması için; VDOİHİ, bugüne kadarki eserlerle kıyaslanamayacak ölçüde daha kapsamlı verilmeye çalışılmaktadır.Bitirilen veya Sonu BaşlatılanlarVDOİHİ’de dillerin matematiği kurularak, o dil için kendini mihenk taşı gören zavallılar sınıfıArsızlıkla belirli dillerin dünya dili olmasıVDOİHİ ve Telif eserlerinde verilen eşitlik ve yasa belirleme yazılımlarıyla, gerçeklerden uzak ve ufuksuz sözde akademisyenlere insanlığın tahammülüBilim ve teknolojide sermayeye olan bağımlılıkSermaye birikiminin gücüPrimitif ölçme ve değerlendirmeSanırım bilgi ve teknolojideki kaderimiz veriyle ilişkilendirilmiş.Bu Ciltte,VDOİHİ’de Olasılık ve İhtimal konularının tanım ve eşitlikleri verilmektedir. Ayrıca VDOİHİ’de olasılık ve ihtimalin uygulama alanlarına da yer verilmektedir. VDOİHİ konu anlatım ciltleri ve aynı cilt numaraları ile soru, problem ve ispat çözümlerinden oluşmaktadır. Bu cilt aynı cilt numarasıyla verilen bağımlı ve bir bağımsız olasılıklı farklı dizilimsiz dağılımların simetrik bulunmama olasılıklarının soru, problem ve ispatlarının çözümlerinden oluşmaktadır.VDOİHİ Bağımlı ve Bir Bağımsız Olasılıklı Farklı Dizilimsiz Simetrik Bulunmama Olasılığı Soru Problem ve İspat Çözümleri kitabı, farklı dizilimsiz dağılımlar ve bir bağımsız olasılıklı dağılımla elde edilebilecek olasılık dağılımlarında, simetrik durumların bulunmadığı dağılımların tanım ve eşitliklerinin verildiği VDOİHİ Bağımlı ve Bir Bağımsız Olasılıklı Farklı Dizilimsiz Simetrik Bulunmama Olasılığı Cilt 2.3.2 kitabında konunun pekiştirilmesine yardımcı olabilmek için verilen soru, problem ve ispatların çözümlerinden oluşmaktadır.Bu kitapta 73 soru ve/veya problemin çözümüyle 15 ispatın çözümleri yer almaktadır. Soru ve/veya problem çözümleri konu anlatımlarının pekiştirilmesine yardımcı olmakla birlikte, verilenler-istenilen ve epistemolojik seviyelerin verilmesiyle konuların uygulamaya dönüştürülmesine de yardımcı olacaktır. İspat çözümlerinde konu anlatımı ve diğer ispat çözümlerinde yer verilemeyen bağımlı ve bir bağımsız olasılıklı farklı dizilimsiz dağılımlardaki simetrik ayrım bulunmama olasılıklarının genel eşitliklerine yer verilmiştir. Eşitliklerdeki simetrinin bulunabileceği dağılımların olasılığını veren ilk terimin haricindeki diğer terimler bağımlı ve bir bağımsız olasılıklı farklı dizilimsiz dağılımlardaki simetrik ayrım olasılığını verir.

Ek bilgi